Planteamiento de ecuaciones e inecuaciones en problemas

Páginas del libro: 142–143

📖 Guía de estudio

Conceptos clave

  • Elegir ecuación o inecuación según el enunciado (igual / mayor / al menos / no supera).

  • Definir con claridad qué representa la incógnita.

  • Traducir la situación al lenguaje algebraico.

  • Resolver y después interpretar el resultado en el contexto.

  • Descartar valores que no tengan sentido (medidas o edades negativas, por ejemplo).

  • Cuidado con los paréntesis al traducir «el doble de… más…».

  • Comprobar que la solución cumple el enunciado original.

✏️ Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Luis tiene 4 años menos que Ana. Ana es 6 años mayor que Pedro. La suma de las tres edades es 41 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

  1. Sea p la edad de Pedro. Entonces Ana tiene p + 6 y Luis tiene (p + 6) − 4 = p + 2.

  2. La suma: (p + 2) + (p + 6) + p = 41.

  3. 3p + 8 = 41, 3p = 33, p = 11.

  4. Pedro tiene 11, Ana 17 y Luis 13. Comprobación: 13 + 17 + 11 = 41; Luis es 4 menor que Ana; Ana es 6 mayor que Pedro.

Respuesta: Pedro 11, Ana 17 y Luis 13 años

Ejemplo 2 — La empresa A paga $8 por artículo más un fijo de $400. La empresa B paga $12 por artículo más un fijo de $200. ¿A partir de cuántos artículos un vendedor de B gana más que uno de A?

  1. Sea n el número de artículos. Se busca 12n + 200 > 8n + 400.

  2. Resta 8n: 4n + 200 > 400. Resta 200: 4n > 200. Divide por 4: n > 50.

  3. Debe vender más de 50 artículos (51 o más, si n es entero).

  4. Comprobación: con 50, ambos ganan 12·50 + 200 = 800 y 8·50 + 400 = 800 (empatan). Con 51, B gana 8 pesos más.

Respuesta: n > 50 (51 o más artículos)

Ejemplo 3 — El largo de un rectángulo excede al ancho en 5 cm. Si cada lado aumenta 2 cm, el área aumenta en 38 cm². ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo nuevo?

  1. Sea a el ancho original. El largo es a + 5. El área original es a(a + 5).

  2. El nuevo es (a + 2)(a + 7) y vale a(a + 5) + 38.

  3. a² + 9a + 14 = a² + 5a + 38. Resta a²: 9a + 14 = 5a + 38. Luego 4a = 24, a = 6.

  4. Ancho original 6 cm, largo 11 cm. El nuevo mide 8 cm por 13 cm. Comprobación de áreas: 66 y 104, diferencia 38.

Respuesta: 8 cm y 13 cm

Ejemplo 4 — Cata dice: «Si compro 2 entradas y agrego $500, gasto lo mismo que el triple del precio de una entrada, menos $200». ¿Cuál es el precio de una entrada?

  1. Sea x el precio. La frase «el triple del precio menos $200» es 3x − 200, no 3(x − 200).

  2. Ecuación: 2x + 500 = 3x − 200.

  3. Pasa 2x a la derecha y −200 a la izquierda: 500 + 200 = 3x − 2x, o sea 700 = x.

  4. El precio es $700. Comprobación: 2·700 + 500 = 1900 y 3·700 − 200 = 1900.

Respuesta: 700

🎯 Práctica con pistas

Responde y presiona Revisar. Si te cuesta, pide una pista. Entra para guardar tu avance.

1. Javiera tiene el doble de años que su hermano y juntos suman 24 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

2. El triple de lo que tiene Sofía, aumentado en $1200, es igual a $4500. ¿Cuánto dinero tiene Sofía?

3. Una empresa paga $10 por artículo más $500 fijos. Otra paga $15 por artículo más $300 fijos. ¿Cuántos artículos debe vender un vendedor de la segunda para ganar más que uno de la primera?

4. ¿Cuáles son los números cuyo triple excede a su doble en más de 20?

5. ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4 que satisface x + 2 < 3x + 1?

6. Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 6 cm, ¿qué se puede asegurar de su perímetro P?

7. El perímetro de un cuadrado no supera al de un rectángulo de 6 cm por 2 cm. ¿Qué se puede asegurar del área S del cuadrado?

8. Un padre y su hijo tienen 20 años de diferencia. ¿En qué periodo de la vida del hijo la edad del padre excede en más de 8 años al doble de la edad del hijo?

9. Un triángulo tiene lados x, x + 1 y x + 3. Su perímetro es 20 cm. ¿Cuánto mide el lado mayor?

10. Martina escribió esta ecuación para un problema de entradas al cine: 3x + 1000 = 2x + 5000, donde x es el precio de una entrada. Resuélvela. ¿Cuánto costaría cada entrada según esa ecuación?

📝 ¿Listo para la evaluación?

Preguntas al azar con tiempo. Obtendrás tu porcentaje y nota.

Rendir evaluación de este tema