Inecuaciones de primer grado

Páginas del libro: 138, 139, 140

📖 Guía de estudio

Conceptos clave

  • Inecuación: desigualdad con al menos una incógnita (<, ≤, >, ≥).

  • Conjunto solución: todos los valores que hacen verdadera la desigualdad.

  • Las mismas operaciones que en una ecuación, en ambos lados.

  • Si se multiplica o divide por un negativo, se invierte el sentido.

  • Recta numérica: ● si el extremo entra (≤, ≥); ○ si no entra (<, >).

  • Las medidas (largos, tiempos, velocidades) suelen exigir valores positivos.

  • El conjunto solución puede cambiar si se pide solo en ℕ o solo en ℤ.

✏️ Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Resuelve la inecuación x + 7 > 12 y describe el conjunto solución.

  1. Resta 7 en ambos lados, igual que en una ecuación: x + 7 − 7 > 12 − 7.

  2. Queda x > 5.

  3. El conjunto solución son todos los números mayores que 5 (no incluye al 5).

  4. En la recta numérica se marca un círculo vacío (○) en 5 y una flecha hacia la derecha.

Respuesta: x > 5

Ejemplo 2 — Resuelve 5x ≥ 8.

  1. El coeficiente 5 es positivo, así que al dividir ambos lados por 5 el sentido de la desigualdad se mantiene.

  2. x ≥ 8/5 (o 1 3/5).

  3. El conjunto solución son todos los números mayores o iguales que 8/5.

  4. En la recta se marca un círculo relleno (●) en 8/5 y una flecha hacia la derecha.

Respuesta: x ≥ 8/5

Ejemplo 3 — Resuelve −3x > 12.

  1. Para aislar x hay que dividir ambos lados por −3, que es un número negativo.

  2. Cuando se multiplica o se divide una inecuación por un número negativo, se invierte el sentido de la desigualdad.

  3. x < 12 ÷ (−3), es decir x < −4.

  4. Comprueba con un valor: si x = −5 (que es menor que −4), −3·(−5) = 15 > 12, se cumple. Si x = −3 (mayor que −4), −3·(−3) = 9, que no es mayor que 12.

Respuesta: x < −4

Ejemplo 4 — El ancho de un rectángulo es 5 cm y su largo es z cm. El área es menor que 80 cm². ¿Qué valores puede tomar z?

  1. El área es 5z y debe ser menor que 80: 5z < 80.

  2. Divide por 5 (positivo): z < 16.

  3. Además, un largo es una medida, así que z > 0 (si fuera 0 no habría rectángulo).

  4. Por lo tanto 0 < z < 16. En la recta: círculos vacíos en 0 y en 16, y se sombrea el segmento entre ambos.

Respuesta: 0 < z < 16

🎯 Práctica con pistas

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1. Resuelve m + 7 > 10.

2. Resuelve n + 1 < 5.

3. Resuelve y − 2 < 0.

4. Resuelve x + 4 < 3.

5. Resuelve 6c ≥ 1. Expresa el valor límite como fracción.

6. Resuelve x/5 < 1.

7. Resuelve 5h − 10 < 10.

8. Resuelve 2x + x − 7 > 10x + 3. Expresa el valor límite como fracción.

9. Al resolver −2x ≥ 8, la solución es:

10. Resuelve 15x − 6 < 3x + 3. Expresa el valor límite como fracción.

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